Analyse de la modélisation des sinistres graves
Kezhan SHI
31 mai 2014
1 Introduction
Les sinistres graves sont en général modélisés avec le modèle fréquence-coût. Quand le modèle est finalisé, l’analyse est importante afin de bien comprendre les résultats de modélisation et par conséquent trouver des incohérences éventuelles de modèle.
2 Paramètres de modèle
2.1 Modèle de coût
On peut prendre la loi de Pareto
library(VGAM)
# install.packages("DT")
library(DT)
library(ggplot2)
seuil=2e6
alpha=2.52.2 Modèle de Fréquence
On peut prendre la loi de Poisson ou la binomiale négative
- pour la loi de Poisson, on a besoin uniquement d’un paramètre qui caractérise la moyenne et la variance.
f=10- en pratique, on peut voir que la variance n’est pas forcément également à la moyenne, on peut adopter la loi binomiale négative
mf=10
vf=16
# nb=rnbinom(1,size=mf^2/(vf-mf),mu=mf)3 Nombres de sinistres par tranche
3.1 Programme de simulation
On peut simuler les sinistres par tranche de 1M, de 2M à 20M. Pour chaque tranche, il est possible de calculer les valeurs suivantes :
- La fréquence moyenne de sinistre par tranche : la fréquence totale pour les sinistres supérieurs à 1M est de 10. Il est important de visualiser la répartition de ce nombre total sur l’ensemble des tranches.
- Le coût moyen par tranche : plus la tranche est fine, plus la valeur moyenne devrait se situer au milieu de la tranche. La régularité du coût moyen nous donne une indication sur la convergence des valeurs, selon le nombre de simulations donné.
- On peut également voir l’écart-type des nombres par tranches, ainsi que l’écart-type du coût moyen.
output## From To Mean_frequency Mean_cost Sd_frequency Sd_cost
## 1 2.0e+06 3.0e+06 6.298 380808.0 2.46602459 119711.7
## 2 3.0e+06 4.0e+06 1.833 419797.6 1.36564123 223772.7
## 3 4.0e+06 5.0e+06 0.748 445868.3 0.87935730 257376.2
## 4 5.0e+06 6.0e+06 0.350 475226.6 0.59821222 274296.5
## 5 6.0e+06 7.0e+06 0.194 479213.3 0.42959114 274184.6
## 6 7.0e+06 8.0e+06 0.130 429465.0 0.35668926 290192.1
## 7 8.0e+06 9.0e+06 0.071 474469.5 0.26081991 296032.6
## 8 9.0e+06 1.0e+07 0.044 394637.6 0.21001930 261091.7
## 9 1.0e+07 1.1e+07 0.027 467604.0 0.16216441 265912.6
## 10 1.1e+07 1.2e+07 0.021 402224.9 0.15027169 277139.6
## 11 1.2e+07 1.3e+07 0.032 552700.8 0.17608807 274117.9
## 12 1.3e+07 1.4e+07 0.015 493371.0 0.12161328 246821.3
## 13 1.4e+07 1.5e+07 0.016 621696.6 0.12553788 220833.1
## 14 1.5e+07 1.6e+07 0.012 399223.2 0.10893974 320587.0
## 15 1.6e+07 1.7e+07 0.006 379443.0 0.07726558 294614.7
## 16 1.7e+07 1.8e+07 0.006 616661.8 0.07726558 277321.9
## 17 1.8e+07 1.9e+07 0.005 623383.9 0.07056897 279233.9
## 18 1.9e+07 2.0e+07 0.006 503434.7 0.07726558 301783.83.2 Visualisation des courbes
On peut visualiser le nombre de sinistres par tranche.
output=as.data.frame(output)
# error bar with sd
ggplot(data=output, aes(x=From,y=`Mean_frequency`)) +
geom_bar(position=position_dodge(), stat="identity") +
theme_bw()
On peut construire une barre d’erreur à l’aide l’écart-type pour visualiser la volatilité des nombres. On voit que la moyenne moins la volatilité est parfois négative. Ainsi pour avoir un graphique cohérent, on peut regarder plutôt un quantile donné.
output=as.data.frame(output)
# error bar with sd
ggplot(data=output, aes(x=From,y=`Mean_frequency`)) +
geom_bar(position=position_dodge(), stat="identity") +
geom_errorbar(aes(ymin=`Mean_frequency`-Sd_frequency, ymax=`Mean_frequency`+Sd_frequency),width=0.2,
position=position_dodge(.1),col=2)+
theme_bw()
4 Analyse de la probabilité de survenance des sinistres
L’OEP ou Occurence Exceedance Probability caratérise la probabilité de survenance des gros montants. On peut faire des simulations pour obtenir la courbe. Il y a également une formule fermée.
L’AEP ou Aggregate Exceedance Probability caratérise la probabilité des sommes annuelles de sinistres.
4.1 Simulation OEP
sinmax=rep(0,nbsim)
for (k in (1:nbsim)) {
sin0 = rpareto(rpois(1,f),seuil,alpha)
sinmax[k]=max(sin0)
}
probs=seq(0,1,0.01)
q=quantile(probs=probs,sinmax)
pr=1/(1-probs) # Période de retour4.2 Formule fermée OEP
FX=1+(log(probs)/f)
q2=qpareto(p=FX,seuil,alpha)
data.frame(probs=probs,pretour=pr,simul=q,form=q2)## probs pretour simul form
## 0% 0.00 1.000000 2395317 NaN
## 1% 0.01 1.010101 2807141 2727293
## 2% 0.02 1.020408 2929852 2911183
## 3% 0.03 1.030928 3084843 3041428
## 4% 0.04 1.041667 3165206 3147374
## 5% 0.05 1.052632 3209088 3239133
## 6% 0.06 1.063830 3340364 3321519
## 7% 0.07 1.075269 3396595 3397236
## 8% 0.08 1.086957 3451206 3467970
## 9% 0.09 1.098901 3531214 3534853
## 10% 0.10 1.111111 3580471 3598684
## 11% 0.11 1.123596 3631410 3660053
## 12% 0.12 1.136364 3661242 3719410
## 13% 0.13 1.149425 3714055 3777106
## 14% 0.14 1.162791 3808803 3833422
## 15% 0.15 1.176471 3867980 3888589
## 16% 0.16 1.190476 3918345 3942799
## 17% 0.17 1.204819 3959620 3996214
## 18% 0.18 1.219512 4001336 4048972
## 19% 0.19 1.234568 4067873 4101193
## 20% 0.20 1.250000 4126397 4152984
## 21% 0.21 1.265823 4171121 4204439
## 22% 0.22 1.282051 4204936 4255641
## 23% 0.23 1.298701 4267863 4306668
## 24% 0.24 1.315789 4291452 4357589
## 25% 0.25 1.333333 4342279 4408469
## 26% 0.26 1.351351 4396110 4459370
## 27% 0.27 1.369863 4445627 4510347
## 28% 0.28 1.388889 4492830 4561454
## 29% 0.29 1.408451 4557139 4612744
## 30% 0.30 1.428571 4622816 4664266
## 31% 0.31 1.449275 4673915 4716068
## 32% 0.32 1.470588 4716607 4768198
## 33% 0.33 1.492537 4781449 4820701
## 34% 0.34 1.515152 4835488 4873624
## 35% 0.35 1.538462 4894415 4927013
## 36% 0.36 1.562500 4924945 4980913
## 37% 0.37 1.587302 4953373 5035370
## 38% 0.38 1.612903 5012145 5090431
## 39% 0.39 1.639344 5118800 5146143
## 40% 0.40 1.666667 5180965 5202555
## 41% 0.41 1.694915 5226101 5259717
## 42% 0.42 1.724138 5273440 5317679
## 43% 0.43 1.754386 5351124 5376494
## 44% 0.44 1.785714 5397442 5436218
## 45% 0.45 1.818182 5438680 5496907
## 46% 0.46 1.851852 5459952 5558620
## 47% 0.47 1.886792 5503865 5621420
## 48% 0.48 1.923077 5557695 5685372
## 49% 0.49 1.960784 5606551 5750544
## 50% 0.50 2.000000 5665376 5817010
## 51% 0.51 2.040816 5719425 5884845
## 52% 0.52 2.083333 5784125 5954132
## 53% 0.53 2.127660 5875771 6024955
## 54% 0.54 2.173913 5949443 6097408
## 55% 0.55 2.222222 5999135 6171587
## 56% 0.56 2.272727 6060186 6247599
## 57% 0.57 2.325581 6151341 6325556
## 58% 0.58 2.380952 6271996 6405579
## 59% 0.59 2.439024 6373306 6487798
## 60% 0.60 2.500000 6435274 6572354
## 61% 0.61 2.564103 6547802 6659399
## 62% 0.62 2.631579 6644123 6749099
## 63% 0.63 2.702703 6714042 6841635
## 64% 0.64 2.777778 6819771 6937201
## 65% 0.65 2.857143 6919013 7036013
## 66% 0.66 2.941176 7040391 7138305
## 67% 0.67 3.030303 7092920 7244338
## 68% 0.68 3.125000 7200176 7354396
## 69% 0.69 3.225806 7404075 7468796
## 70% 0.70 3.333333 7512129 7587889
## 71% 0.71 3.448276 7632708 7712065
## 72% 0.72 3.571429 7846527 7841763
## 73% 0.73 3.703704 7942537 7977473
## 74% 0.74 3.846154 8067970 8119752
## 75% 0.75 4.000000 8170087 8269226
## 76% 0.76 4.166667 8264857 8426613
## 77% 0.77 4.347826 8379181 8592730
## 78% 0.78 4.545455 8607874 8768523
## 79% 0.79 4.761905 8791604 8955085
## 80% 0.80 5.000000 8958686 9153691
## 81% 0.81 5.263158 9172875 9365842
## 82% 0.82 5.555556 9371355 9593316
## 83% 0.83 5.882353 9633108 9838237
## 84% 0.84 6.250000 9886647 10103174
## 85% 0.85 6.666667 10146219 10391265
## 86% 0.86 7.142857 10447373 10706391
## 87% 0.87 7.692308 10822549 11053425
## 88% 0.88 8.333333 11309057 11438585
## 89% 0.89 9.090909 11627014 11869959
## 90% 0.90 10.000000 11793072 12358303
## 91% 0.91 11.111111 12253304 12918308
## 92% 0.92 12.500000 13005286 13570689
## 93% 0.93 14.285714 14082061 14345824
## 94% 0.94 16.666667 15436627 15290538
## 95% 0.95 20.000000 16299326 16481842
## 96% 0.96 25.000000 17626901 18058111
## 97% 0.97 33.333333 19399760 20302174
## 98% 0.98 50.000000 22560709 23925783
## 99% 0.99 100.000000 26000515 31634266
## 100% 1.00 Inf 64117950 Inf5 Utilisation
Cette analyse peut permettre une meilleure vision des sinistres graves. Elle peut être utile pour le provisionnement, le pricing, et la réassurance.