1 Introduction

La méthode de Chainladder permet de calculer les coefficients de développement d’un triangle, et cet artcile montre quelques méthodes de lissage.

On utilise le package ChainLadder.

2 Méthode de Chain Ladder

2.1 Visualisation du triangle cumulé

Un exemple de triangle est contenu dans le package :

RAA #Reinsurance Association of America

##       dev
## origin    1     2     3     4     5     6     7     8     9    10
##   1981 5012  8269 10907 11805 13539 16181 18009 18608 18662 18834
##   1982  106  4285  5396 10666 13782 15599 15496 16169 16704    NA
##   1983 3410  8992 13873 16141 18735 22214 22863 23466    NA    NA
##   1984 5655 11555 15766 21266 23425 26083 27067    NA    NA    NA
##   1985 1092  9565 15836 22169 25955 26180    NA    NA    NA    NA
##   1986 1513  6445 11702 12935 15852    NA    NA    NA    NA    NA
##   1987  557  4020 10946 12314    NA    NA    NA    NA    NA    NA
##   1988 1351  6947 13112    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA
##   1989 3133  5395    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA
##   1990 2063    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA    NA

Utilisation plot pour visualiser

plot(RAA) # option : lattice=TRUE

plot(RAA,lattice=TRUE)

2.2 Visualisation du triangle décumulé

Utiliser matplot pour visualiser le triangle décumulé

RAAnc=RAA[1:10,1:10]-cbind(t(t(rep(0,10))),RAA[1:10,1:9])
matplot(t(RAAnc),type="b",lwd=2)

2.3 Bubble chart du triangle

Utiliser un bubble chart pour visualiser

le triangle cumulé
le triangle décumulé

data=as.data.frame(cbind(rep(seq(1981,1990,1),10),
                         as.vector(t(matrix(rep(seq(1,10,1),10),10,10))),
                         as.vector(RAA)))

# symbols(data$V1,data$V2,squares=data$V3,inches=0.6,fg="white",bg="blue")
symbols(data$V1,data$V2,circles=data$V3,inches=0.4,fg="white",bg="blue")

2.4 Coefficients de développement

Calculer les coefficients de développement selon la méthode de Chain Ladder

avec une boucle R
en utilisant la fonction sapply
rappel de la formule \[f_k=\frac{\sum_{i=1}^{n-k}C{i,k+1}}{\sum_{i=1}^{n-k}C{i,k}}\]

n=10
f <- sapply(1:(n-1),function(i){
  sum(RAA[c(1:(n-i)),i+1])/sum(RAA[c(1:(n-i)),i])
  })
f

## [1] 2.999359 1.623523 1.270888 1.171675 1.113385 1.041935 1.033264 1.016936
## [9] 1.009217

3 Lissage des coefficients

3.1 Extrapolation des coefficients

En général, on ne considère pas que tout le développement est observé sur le triangle, ainsi on va faire une extrapolation.

Faire un plot de f : que constate-t-on ?
Quelle est la limite attendue de la suite ?
Faire l’hypothèse que log(f-1) suit un modèle linéaire
Réaliser la régression linéaire et trouver les coefficients du modèle
Fonction pour la régression linéaire : lm
A partir de quelle année peut-on considérer que le développement est complet ?

dev=1:(n-1);tail.model=lm(log(f-1)~dev);co=coef(tail.model)
plot(dev,log(f-1))
abline(tail.model)

3.2 Calcul du tail factor

tail=exp(co[1]+c((n+1):(n+100))*co[2])+1
f.tail=prod(tail)

Calculer la cadence de paiement, cumulée et non cumulée
Tracer le graphique

3.3 Cadence de paiement cumulée

cpc=rev(1/cumprod(rev(c(f, tail[tail>1.0001]))))
plot(cpc, t="b",main="Cadence de paiement cumulée",
xlab="Dev. period", ylab="Development % of ultimate loss")

3.4 Cadence de paiement non cumulée

Calcul de la cadence de paiement non cumulée
Lissage de la cadence
Utilisation de la fonction \(a\cdot exp(polynome)\)

cpcn=c(cpc[1],diff(cpc))
plot(cpcn, t="b",main="Cadence de paiement non cumulée",
xlab="Dev", ylab="Development % of ultimate loss")

3.5 Lissage cadence de paiement non cumulée

plot(log(cpcn));dev=1:14
cpcn.model=lm(log(cpcn)~dev+I(dev^2)+I(dev^3));cpcn.co=coef(cpcn.model)
lines(dev,cpcn.co[1]+cpcn.co[2]*dev+cpcn.co[3]*dev^2+cpcn.co[4]*dev^3)

cpcn=c(cpc[1],diff(cpc))
plot(cpcn, t="b",main="Cadence de paiement non cumulée",xlab="Dev", ylab="Development % of ultimate loss")
lines(dev,exp(cpcn.co[1]+cpcn.co[2]*dev+cpcn.co[3]*dev^2+cpcn.co[4]*dev^3))

3.6 Complétion du triangle

Compléter le triangle grâce aux coefficients de développement trouvés.

f.complet=c(f,f.tail)
fullRAA=cbind(RAA,Ult=rep(0,10)) # initialisation
for (k in 1:n){
  fullRAA[(n-k+1):n,k+1]=fullRAA[(n-k+1):n,k]*f.complet[k]

}
round(fullRAA)

##         1     2     3     4     5     6     7     8     9    10   Ult
## 1981 5012  8269 10907 11805 13539 16181 18009 18608 18662 18834 18928
## 1982  106  4285  5396 10666 13782 15599 15496 16169 16704 16858 16942
## 1983 3410  8992 13873 16141 18735 22214 22863 23466 23863 24083 24204
## 1984 5655 11555 15766 21266 23425 26083 27067 27967 28441 28703 28847
## 1985 1092  9565 15836 22169 25955 26180 27278 28185 28663 28927 29072
## 1986 1513  6445 11702 12935 15852 17649 18389 19001 19323 19501 19599
## 1987  557  4020 10946 12314 14428 16064 16738 17294 17587 17749 17838
## 1988 1351  6947 13112 16664 19525 21738 22650 23403 23800 24019 24139
## 1989 3133  5395  8759 11132 13043 14521 15130 15634 15898 16045 16125
## 1990 2063  6188 10046 12767 14959 16655 17353 17931 18234 18402 18495

3.7 Calcul de provision

Calculer le montant de provision par année
Provion totale

getLatestCumulative(RAA)

##  1981  1982  1983  1984  1985  1986  1987  1988  1989  1990 
## 18834 16704 23466 27067 26180 15852 12314 13112  5395  2063 
## attr(,"latestcol")
## 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 
##   10    9    8    7    6    5    4    3    2    1 
## attr(,"rowsname")
## [1] "origin"
## attr(,"colnames")
##  [1] "10" "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "1" 
## attr(,"colsname")
## [1] "dev"

sum(fullRAA[,11]-getLatestCumulative(RAA))

## [1] 53202.12

3.8 Cadences par année

Calculer la cadence par année de survence
Tracer le grahpique des cadences individuelles
Afficher la cadence moyenne sur les cadences individuelles

fullratio=RAA
for (i in 1:10){
  fullratio[i,]=RAA[i,]/fullRAA[i,11]
}
cpc

##  [1] 0.1115699 0.3346381 0.5432926 0.6904641 0.8089993 0.9007276 0.9384993
##  [8] 0.9697171 0.9861407 0.9952295 0.9975604 0.9988018 0.9994622 0.9998133

matplot(t(rbind(fullratio,cpc[1:10])),type="b",lwd=2)

Lissage des coefficients de développement

Kezhan SHI

02 Novembre 2015