1 Problématique

Quand on a un scénario pour une entreprise dont l’exposition est connue, comment peut-on construire un scénario adapté pour une autre entreprise?

On considère les hypothèses suivantes :

  • le profil de risques des deux entreprises est similaire, ainsi on peut supposer que la distribution de la sévérité est identique
  • la fréquence est proportionnelle à l’exposition.

2 Paramètres de modèle

2.1 Modèle de coût

On peut prendre la loi de Pareto:

seuil=2e6
alpha=2.5

2.2 Modèle de Fréquence

On peut prendre la loi de Poisson ou la binomiale négative

  • pour la loi de Poisson, on a besoin uniquement d’un paramètre qui caractérise la moyenne et la variance.
f=10
  • en pratique, on peut voir que la variance n’est pas forcément également à la moyenne, on peut adopter la loi binomiale négative
mf=10
vf=16
# nb=rnbinom(1,size=mf^2/(vf-mf),mu=mf)

3 Analyse des périodes de retour

3.1 OEP 1

On considère un premier cas où la fréquence moyenne est de f.

probs=seq(0,1,0.05)

pr=1/(1-probs) # Période de retour
FX=1+(log(probs)/f)

q2=qpareto(p=FX,seuil,alpha)
data.frame(probs=probs,pretour=pr,Quantiles1=q2)
##    probs   pretour Quantiles1
## 1   0.00  1.000000        NaN
## 2   0.05  1.052632    3239133
## 3   0.10  1.111111    3598684
## 4   0.15  1.176471    3888589
## 5   0.20  1.250000    4152984
## 6   0.25  1.333333    4408469
## 7   0.30  1.428571    4664266
## 8   0.35  1.538462    4927013
## 9   0.40  1.666667    5202555
## 10  0.45  1.818182    5496907
## 11  0.50  2.000000    5817010
## 12  0.55  2.222222    6171587
## 13  0.60  2.500000    6572354
## 14  0.65  2.857143    7036013
## 15  0.70  3.333333    7587889
## 16  0.75  4.000000    8269226
## 17  0.80  5.000000    9153691
## 18  0.85  6.666667   10391265
## 19  0.90 10.000000   12358303
## 20  0.95 20.000000   16481842
## 21  1.00       Inf        Inf

3.2 OEP 2

Ensuite, on considère que le exposition est deux fois plus grande, du coup, la fréquence moyenne est multipliée par 2.

FX2=1+(log(probs)/f/2)
q2_2=qpareto(p=FX2,seuil,alpha)
data.frame(probs=probs,pretour=pr,Quantiles1=q2,Quantiles2=q2_2)
##    probs   pretour Quantiles1 Quantiles2
## 1   0.00  1.000000        NaN        NaN
## 2   0.05  1.052632    3239133    4274062
## 3   0.10  1.111111    3598684    4748492
## 4   0.15  1.176471    3888589    5131024
## 5   0.20  1.250000    4152984    5479896
## 6   0.25  1.333333    4408469    5817010
## 7   0.30  1.428571    4664266    6154536
## 8   0.35  1.538462    4927013    6501233
## 9   0.40  1.666667    5202555    6864812
## 10  0.45  1.818182    5496907    7253212
## 11  0.50  2.000000    5817010    7675591
## 12  0.55  2.222222    6171587    8143458
## 13  0.60  2.500000    6572354    8672273
## 14  0.65  2.857143    7036013    9284074
## 15  0.70  3.333333    7587889   10012279
## 16  0.75  4.000000    8269226   10911309
## 17  0.80  5.000000    9153691   12078368
## 18  0.85  6.666667   10391265   13711356
## 19  0.90 10.000000   12358303   16306879
## 20  0.95 20.000000   16481842   21747921
## 21  1.00       Inf        Inf        Inf

On voit que pour les périodes de retour, il y a une certaine relation linéaire; mais cette relation est moins vraie pour les périodes de retour basses.

3.3 Comparaison des périodes de retour basses

Afin d’avoir des intervalles plus réguliers sur les périodes de retour, on peut définir les probabilités à partir des périodes de retour. Les points rouges sont associés à l’entreprise 2 où l’exposition est 2 fois plus grande.

Dans un premier temps, on regarde les périodes de retour basses

pr=seq(0,10,0.1)

probs=1-1/pr

FX=1+(log(probs)/f)

q2=qpareto(p=FX,seuil,alpha)

FX2=1+(log(probs)/f/2)
q2_2=qpareto(p=FX2,seuil,alpha)

plot(q2,pr,xlab="Quantiles",ylab="Periodes de retour")
points(q2_2,pr,col=2)

Pour vérifier si les périodes de retour de l’entreprise 2 est plus fois plus petite, on peut diviser les périodes de retour de l’entreprise 1 par 2 (points verts) :

plot(q2,pr,xlab="Quantiles",ylab="Periodes de retour")
points(q2_2,pr,col=2)
points(q2,pr/2,col=3)

3.4 Comparaison des périodes de retour hautes

Comme ce sont souvent les périodes de retour hautes qui nous intéressent, on peut se focaliser sur les périodes de retour hautes.

pr=seq(1,1000,10)
probs=1-1/pr

FX=1+(log(probs)/f)

q2=qpareto(p=FX,seuil,alpha)

FX2=1+(log(probs)/f/2)
q2_2=qpareto(p=FX2,seuil,alpha)

plot(q2,pr,xlab="Quantiles",ylab="Periodes de retour")
points(q2_2,pr,col=2)

Pour vérifier si les périodes de retour de l’entreprise 2 est plus fois plus petite, on peut diviser les périodes de retour de l’entreprise 1 par 2 (points verts) :

plot(q2,pr,xlab="Quantiles",ylab="Periodes de retour")
points(q2_2,pr,col=2)
points(q2,pr/2,col=3)

On voit que les points rouges et verts sont sensiblement sur une même courbe.

4 Pour aller plus loin

Graphiquement, on voit que les périodes sont multipliées par 2 si l’exposition est divisée par 2, pour une loi de sévérité Pareto, et une loi de fréquence Poisson.

  • Est-il possible de démontrer cette relation avec une formule fermée ?
  • A-t-on une égalité exacte, ou approximative ?
  • Est-ce vrai pour d’autres lois de sévérité ?
  • Est-ce vrai pour une autre loi de fréquence ?